Interés compuesto.
Si un capital P está invertido a una tasa de interés r durante un periodo de t años, entonces el monto A de la inversión está dado por:
A=P(1+r) ……….Interés simple (durante un año)
A=P(1 + r/n)nt ……….Interés compuesto n veces por año
A=Pert ………..Interés continuamente compuesto (compuesto continuo)
Ejemplos:
a) Se invierte una suma de $5000, a una tasa de interés de 9% anual
a) Determina el tiempo necesario para que éste dinero se duplique si el interés se calcula de acuerdo con el método siguiente:
I. Compuesto semestralmente
II. Compuesto continuo
Solución.
I. Utilizamos la fórmula del interés compuesto con P=$5000, A=$10000 (porque pide que se duplique), r=0.09 (porque tienes que representar el 9% como decimal es decir, 9/100), n=2 (porque el año tiene 2 semestres) y resolvemos la ecuación exponencial resultante en función de t.
A=P(1 + r/n)nt
Sustituyendo todos los datos:
10000=5000(1+ 0.09/2)2t
Tenemos que despejar a t
10000/ 5000 = (1+ 0.09/2)2t pasamos 5000 dividiendo (porque estaba multiplicando)
2= (1.045)2t realizando las operaciones posibles (simplificar)
log(2) = log (1.045)2t sacar logaritmos a ambos lados para bajar el 2t
log(2) = 2t log(1.045)
2t log(1.045) = log(2) invertimos para que la incógnita quede del lado izquierdo
2t = log 2 / log 1.045 pasamos log(1.045) dividiendo
t = log 2 / (2)log 1.045 pasamos 2 dividiendo
t = 7.8795
t = 7.9 años
Por lo tanto, el dinero se duplicara en 7.9 años.
II. Utilizamos la fórmula de interés continuamente compuesto con P=$5000, A=$10000, r=0.09 y resolvemos la ecuación exponencial resultante.
A=Pert
Sustituyendo todos los datos:
10000=5000 e0.09t
Tenemos que despejar a t
5000e0.09t = 10000 invertimos la ecuación
e0.09t = 10000/5000 pasamos 5000 dividiendo
e0.09t = 2 simplificando del lado derecho
ln e0.09t = ln 2 aplicando logaritmo natural (ln) a ambos lados de la ecuación para bajar 0.09t
0.09t = ln2 ln es el inverso de e
t = ln2 / 0.09 pasamos 0.09 dividiendo
t = 0.6931 / 0.09 resolviendo y simplificando
t = 7.7016
t=7.7 años
Por lo tanto, el dinero se duplicará en 7.7 años.
b) b) Determina el rendimiento porcentual anual para una inversión que gana interés a una tasa de 6% anual compuesto diariamente.
Solución.
Después de un año el capital P crecerá hasta el monto.
A=P(1 + r/n)nt
A = P(1 + 0.06/365)365(1) en un año hay 365 días que se considera diariamente como n = 365 y t = 1 (por 1 año)
A = P(1.06183) este valor de A lo sustituimos en la siguiente fórmula
La fórmula del interés compuesto es:
A=P(1+r)
Por lo tanto:
P(1.06183) = P(1 + r) sustituyendo A
P(1 + r) = P(1.06183) invertimos la ecuación
1 + r = 1.06183 eliminamos P
r = 1.06183 – 1 despejamos a r pasando 1 restando
r = 0.06183 a este valor lo multiplicamos por 100
r = 6.183%
Crecimiento Exponencial.
Si n0 es el tamaño inicial de la población, entonces la población n(t) en el tiempo t está dada por:
n(t) = n0 ert
donde r es la tasa de crecimiento relativo expresada como una función de la población.
Ejemplos:
a) La población del mundo en 1995 era de 5700 millones y la tasa de crecimiento relativa estimada es de 2% anual. Si la población sigue creciendo a esta tasa. ¿Cuándo alcanza 57000 millones de personas?
Solución.
Utilizamos la fórmula para el crecimiento de la población con n0 = 5700 millones, r = 0.02 y n(t)=57000 millones. Esto nos lleva a una ecuación exponencial, de la que despejamos a t.
n(t) = n0 ert
57000 = 5700 e0.02t sustituyendo los datos
5700 e0.02t = 57000 invirtiendo la ecuación
e0.02t = 57000/5700 pasamos 5700 dividiendo
e0.02t = 10 simplificando
ln e 0.02t = ln 10 aplicando logaritmos naturales a ambos lados de la ecuación
0.02t = ln 10 ln es el inverso de e
t = ln 10 / 0.02 pasamos 0.02 dividiendo para despejar a t
t = 115.125 años
t = 115 años
Por lo tanto, la población alcanzará 57000 millones en aproximadamente 115 años, esto es, el año 1995 + 115 = 2110.
b)
Un cultivo se inicia con 10000 bacterias, y su número se duplica cada 40 minutos.
i) Obtén una fórmula para el número de bacterias en el tiempo t
ii) Determina el número de bacterias después de una hora
iii) ¿Después de cuántos minutos habrán 50000 bacterias?
Solución.
i) Para determinar la fórmula del crecimiento de la población, necesitamos obtener la tasa r. Para ello la fórmula con n(t) = 20000, t = 40, n0=10000 , y después despejamos a t.
n(t) = n0 ert
20000=10000 e40r sustituyendo los datos y ubicando el 40 antes de la incógnita
10000 e 40r = 20000 invertimos la ecuación, y se trata de despejar a r
e40r = 20000/10000 pasamos 10000 dividiendo
e40r = 2 simplificando el lado derecho
ln e40 r = ln 2 para eliminar la base e, se utiliza el inverso que es ln (logaritmo natural)
40r = ln 2 el exponente 40r se baja y despeja a r
r = ln 2 / 40
r = 0.6931 / 40
r = 0.01733
Ahora que ya sabemos que r=0.01733, podemos escribir la fórmula del crecimiento de la población.
n(t) = 10000 e0.01733t
ii) Utilizando la fórmula obtenida en el inciso i) con t=60 minutos (1 hora) obtenemos:
n(t) = 10000 e0.01733t
n(60) = 10000 e0.01733(60) esta función se evalúa en 60 , recuerda que se calculo r en el inciso anterior
n(60) = 10000 e1.0398 se simplifica el exponente
n(60) = 10000 (2.82865) se utiliza la base e que tienes en tu calculadora e^
n(60) = 28286.5122
n(60) = 28287 bacterias
Por lo tanto, el número de bacterias después de una hora es de aproximadamente 28000 bacterias.
iii) Utilizamos la fórmula obtenida en el inciso i) con n(t) = 50000 y resolvemos la ecuación exponencial resultante para t.
n(t) = 10000 e0.01733t
10000 e0.01733t = 50000 se sustituye el valor de 50000
e0.01733t = 50000 / 10000 invertimos la ecuación para que la incógnita quede de lado izquierdo
e0.01733t = 5 simplifica lado derecho de la ecuación
ln e0.01733t = ln 5 aplica ln a ambos lados de la ecuación para eliminar la base e
0.01733 t = ln 5 despeja a t
t = ln 5 / 0.01733
t = 1.60943 / 0.01733
t = 92.8695
Por lo tanto, el conteo de bacterias alcanzará 50000 en aproximadamente 93 minutos.
Desintegración Radiactiva.
El elemento 88 mejor conocido como radio, es radiactivo. Esto significa que los átomos de radio se desintegran espontáneamente, emitiendo una radiación en forma de partículas alfa, beta o rayos gamma.
Cuando un átomo se desintegra de esta manera, su núcleo se transforma en el núcleo de otro elemento. El núcleo de un átomo de radio en desintegración se transforma en el núcleo de un átomo de radón, la función exponencial n(t) = n0 ert también puede servir como modelo matemático para aproximar la cantidad que queda de un elemento en proceso de desintegración mediante la radiactividad.
Ejemplos.
a) Supongamos que hay 20 gramos de radio disponibles inicialmente. Después de t años la cantidad restante está dada por:
n(t) = 20 e-0.000418t (ya está dado la constante r)
Encuentra la cantidad de radio disponible inicialmente después de 100 años ¿Qué porcentaje de los 20 gramos se habrá desintegrado después de 100 años?
Solución.
n(100)=20 e-0.000418 (100) solo hay que sustituir el valor de t = 100 ya que es el tiempo que ha pasado
n(100) = 20 e-0.0418
n(100) = 20 (0.9590)
n(100) = 19.1812 gramos
En otras palabras, después de 100 años sólo (20 – 19.1812)/20 * 100% = 4.1% de la cantidad inicial (se hizo una regla de tres)
